quinta-feira, 6 de outubro de 2011

A IMPORTÂNCIA DA GEOMETRIA ATÉ OS DIAS ATUAIS

Universidade do Estado da Bahia – UNEB

Departamento de Educação – Campus I – DEDC I

Núcleo de Educação a Distância - NEAD

Licenciatura em Matemática – EaD

Disciplina: História da Matemática

Professora: Rosimeire Batistela

Pólo: Remanso - Bahia

Aluno: Cíntia Gomes Viana de Lira

Edmilson Nunes Soares

Luis Fábio Bonfim da Silva

Poliana Ribeiro Vidal

Renato Luis de Lira

Ricardo Rodrigues de Brito G: 15





A IMPORTÂNCIA DA GEOMETRIA ATÉ OS DIAS ATUAIS








REMANSO - BAHIA

OUTUBRO – 2011




UNEB - EAD

UNIVERSIDADE ESTADUAL DA BAHÍA



Cíntia Gomes Viana de Lira

Edmilson Nunes Soares

Luis Fábio Bonfim da Silva

Poliana Ribeiro Vidal

Renato Luis de Lira

Ricardo Rodrigues de Brito




A IMPORTÂNCIA DA GEOMETRIA ATÉ OS DIAS ATUAIS

Trabalho realizado como pré-requisito da disciplina História da Matemática para a integralização do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade do Estado da Bahia, sob orientação da Profª Rosimeire Batistela.








REMANSO

OUTUBRO 2011





A IMPORTÂNCIA DA GEOMETRIA ATÉ OS DIAS ATUAIS

INTRODUÇÃO

A geometria nasceu das necessidades e das observações do homem. É um ramo que estuda a medida da terra, lidando com as propriedades do espaço, utilizando sistema que utiliza as formas geométricas.

A geometria teve sua origem no Egito antigo, com a medição de terrenos, isto segundo o historiador grego Heródoto (Séc. V A.C.), porém, isto não significa dizer que alguns povos ou civilizações fizeram estudo sobre o tema antes dos gregos, algo que registra com os povos da Babilônia, China, até mesmo os Hindus. Os conhecimentos geométricos começaram a ser utilizados muitos séculos antes de Cristo. No Egito, por exemplo, as cheias anuais do rio Nilo destruíam as cercas que demarcavam os campos de plantação. Quando as águas voltaram ao nível normal, os egípcios dividiam novamente as terras, baseando-se em registros feitos antes das cheias. E isso só acontecia por causa da geometria.

A geometria nos dias atuais conhecida como Euclidiana, em homenagem ao grego Euclides, o primeiro matemático a apresentar a geometria de forma bem organizada, através da publicação em seu famoso livro Os Elementos. Muitos povos do passado não utilizavam apenas propriedades da geometria, que na Grécia era considerada uma ciência, para medirem áreas e volumes. Eles tinham suas próprias regras, assim, partindo a utilizar o raciocínio lógico.

Um dos exemplos da geometria Egípcia são as construções das pirâmides, e templos pelas civilizações egípcias e babilônias, sendo as provas mais antigas sobre o conhecimento de geometria. Porém, outros povos já utilizavam de teoremas como o de Pitágoras quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo.


















Já nos dias atuais os conceitos são chamados primitivos e os poliedros regulares e irregulares despertam fascínio nos homens de todas as idades, motivados pela beleza simétrica dos poliedros regulares, na então chamada Geometria Espacial.

Os gregos acreditavam que todos os corpos, como ocupam um determinado espaço são formados por partes de cinco corpos elementos: O fogo, o ar, a água, a terra e o cosmo. Eles relacionaram esses cinco corpos elementares aos cinco sólidos: o tetraedro ao fogo, o hexaedro à terra, o octaedro ao ar, o icosaedro à água e o dodecaedro ao cosmo. Platão e seus seguidores, que viveram na Grécia antiga, estudaram esses sólidos exaustivamente. Por isso eles tornaram-se conhecidos como: Os Poliedros de Platão. Para se chegar à compreensão da necessidade de classificação de figuras, da forma como é usual na Geometria Euclidiana, é necessário obter compreendido as suas vantagens matemáticas. Sem esta compreensão, parece um jogo de palavras ter ouvido o professor afirmar que um triângulo isósceles é o que tem os lados iguais, e depois ver o professor permitir que um triângulo com os três lados iguais seja também isósceles.

Um dos representantes dos dias atuais é Mauritus Cornelis Escher nascido na Holanda em 1898, faleceu em 1970 e dedicou toda a sua vida às artes gráficas. Foi um artista gráfico holandês conhecido pelas suas xilogravuras, litografias e meios-tons), que tendem a representar construções impossíveis, preenchimento regular do plano, explorações do infinito e as metamorfoses - padrões geométricos entrecruzados que se transformam gradualmente para formas Completamente diferentes.


Algumas aplicações da Geometria Euclidiana através de figuras.

FIGURAS DE ESCHER





Com a invenção da roda, círculos e circunferências que fazem parte da nossa vida cotidiana muitos problemas foram solucionados, tornando-se a roda a invenção mais preciosa para o ramo da geometria, facilitando a vida do ser humano.

Outro ramo da Geometria conhecida como Plana ramifica-se nas figuras que conhecemos com planas, como por exemplo, o triângulo retângulo, quadrado, losango, entre outras. Cálculo da área do: retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, losango, trapézio. Áreas de triângulos semelhantes. Polígonos regulares e seus elementos. Áreas de polígonos regulares. Áreas de polígonos semelhantes. Perímetro e Área do Círculo. Arcos. Setor circular. Segmento circular, que por sua vez, estende-se até a conhecida Geometria analítica plana, que estuda as coordenadas no plano e dando ênfase no estudo das equações da reta, as curvas cônicas nas suas formas padrões.

“No mundo e através da história, todas as culturas, em maior ou menor grau, fizeram contas, conheceram alguns números, observaram os movimentos do céu, seguiram um calendário, tentaram tratar de doenças. Mas só uma cultura inventou a representação de formas como o quadrado, o círculo, a esfera, e conseguiu discorrer sobre elas com rigor, sendo a Grécia exatamente há 26 séculos.” com vestígios do livro “As Origens da Geometria” de Michel Serres começou a estudar a geometria.

Outro ramo da Geometria conhecida como Analítica, fruto dessa fusão, o mérito não foi de uma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650), curiosamente ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avanço científico: o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemática e o segundo por razões filosóficas.




FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA DA UTILIZAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO ENSINO

É instigante imaginar o conhecimento dos sábios na antiguidade sobre a Geometria, um ótimo exemplo é o templo de Ártemis, uma das sete maravilhas do mundo antigo, onde a simetria de suas formas, a perfeita disposição da águas-de-telhado (planos que contém o telhado) e o perpendicularismo de suas pilastras revelam grande conhecimento dessa área da Matemática, tão antiga e tão considerada pelos filósofos.

O estudo das formas permitia ao homem contemplar as formas perfeitas da Natureza, chamadas por Platão de ideais e descobrir seus encantos e magias.

Por estar sempre presente à nossa volta, a Geometria representa o aspecto mais concreto da Matemática se comparada a Álgebra, mais abstrata; por isso seus conceitos são também mais fáceis de ser apreendidos, chegando algumas vezes a ser intuitivos.

A parte teórica da Geometria espacial é chamada Geometria de Posição e trata de conceitos primitivos como ponto, reta e plano e suas relações.

Com o objetivo de mostrar que a utilização de modelos concretos como recurso didático, no recurso da Geometria Espacial, a abordagem de atividade práticas com o auxílio do tetraedro para desenvolvimento da visão espacial, facilitando o entendimento de propriedades geométricas e, favorecendo a construção na prática dos poliedros, tornou-se uma atividade prazerosa com a demonstração na prática de situações vivenciadas em livro apenas em teoria.

Por isso, as atividades práticas se fazem necessárias para uma aprendizagem, através do concreto, visualizando situações outrora não vividas pelos alunos, buscando uma melhor compreensão de conceitos básicos para a formação de um cidadão capaz de discernir sobre situações que lhes parecem constrangedoras, mas que vivenciadas na prática, se tornam significativas, na busca por obtenções de melhores resultados.

Com a construção na prática de um poliedro composto por quatro faces, construímos atitudes críticas diante de situações vivenciadas no cotidiano, abordando idéias fundamentais sobre os conceitos básicos da Geometria Espacial, e assim, percebemos a necessidade de se trabalhar com o concreto, onde cada aluno vivencia na prática todas as situações outrora ensinadas em sala de aula.

Após a construção do modelo do tetraedro, na qual verificamos e constatamos elementos e situações na prática, se faz necessário o uso da exploração mais profunda das figuras, para aquisição de conhecimentos, visando uma melhora da prática pedagógica, bem como, visualização de situações novas vivenciadas com o manejo do tetraedro propriamente dito.

Com a exploração do modelo como objeto geométrico, recordamos alguns resultados da Geometria Espacial e Plana, estudados durante a aquisição de conhecimentos no Ensino Médio. Assim, podemos vivenciar situações na qual o ponto de encontro das três medianas de um triângulo qualquer é chamado de baricentro, bem como, para este exemplo, o encontro das alturas, pois se trata de um poliedro regular onde as faces são poliedros regulares, por isso, constatamos que para todo triângulo eqüilátero, o encontro das medianas e das alturas se coincidem no ponto chamado Baricentro.

Entre as infinitas formas poliédricas existem algumas que pelo seu “equilíbrio” sua simetria, há muito tempo exercem fascinação sobre homens. A forma poliédrica das pirâmides egípcias é uma delas.

Exemplos de formas esteticamente harmônicas, os poliedros regulares são também denominados de poliedros de Platão, pelo fato de esses sólidos terem sido considerados perfeitos por Platão (século IV a.C.) Num de seus diálogos, o Timeu (350 a.C), a construção do Universo é descrita a partir dos elementos fogo, terra, ar e água, representados pelos poliedros da seguinte maneira:

· Fogo: tetraedro (quatro faces triangulares) o mais móvel; o menor corpo, o de ângulo mais agudo.

· Terra: hexaedro (seis faces quadradas), a forma cúbica: é o elemento mais estável dos corpos, o de base mais ampla.

· Ar: Octaedro (oito faces triangulares): figura intermediária: o corpo intermediário.

· Água: icosaedro (vinte faces triangulares): o menos móvel; o maior corpo.

Esses quatro elementos formam o Universo, representado pelo dodecaedro (doze faces pentagonais) a figura mais próxima da esfera.

No século XVI (1571-1630) Kepler propôs um modelo cosmológico representado pelos poliedros. Assim como seus antecessores, acreditava que o mundo era regido por uma geometria pura que havia uma forte influência da forma geométrica sobre o mundo físico.

E, numa reflexão mais filosófica, observando quanto nos apropriamos de ícones para orientar nossos pensamentos, podemos imaginar que as formas geométricas são da mesma natureza que a nossa mente: por isso nos encantamos tanto com elas e nos deixamos levar por suas imagens e representações.

Partindo do conceito de que cada poliedro é formado pela reunião de um número finito de regiões poligonais planas chamadas faces e a região do espaço limitada por elas. Cada lado de uma dessas regiões poligonais é também lado de uma única outra região poligonal e a intersecção de duas faces quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice, ou é vazia e que cada lado de uma região poligonal, comum exatamente duas faces, chama-se aresta e cada vértice de uma face é um vértice do poliedro, partimos com o objetivo de mostrar que a utilização de modelos concretos como recurso didático, no recurso da Geometria Espacial e aprendizagem através da com o auxílio de materiais para construção de um tetraedro para desenvolvimento da visão espacial, facilitando o entendimento de propriedades geométricas e, favorecendo a construção na prática dos poliedros.

Conclui-se então, que atividades práticas levam o educando a criar situações que envolvam a prática e a teoria, na busca por questionamentos outrora sem soluções, tornando as aulas com um maior significado, tanto no ponto de vista do aluno como do professor e há uma maior aprendizagem na busca por melhores conhecimentos.



PROPOSTA PARA O ENSINO DO TÓPICO UTILIZANDO O RECURSO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

1. Jogo Pedagógico Bloco Lógico em Plástico

A Geometria exige uma maneira específica de raciocinar, explorar e descobrir, fatores que desempenham importante papel na concepção de espaço pela criança.
As figuras geométricas mais conhecidas pelos alunos são o quadrado, o retângulo, o triângulo e o círculo que são trabalhadas desde a Educação Infantil até o Ensino Médio.
Nas classes de educação infantil, os blocos lógicos, pequenas peças geométricas, criadas na década de 50 pelo matemático húngaro Zoltan Paul Dienes, são bastante eficientes para que os alunos exercitem a lógica e evoluam no raciocínio abstrato. Foram utilizados de modo sistemático com crianças pelo psicólogo russo Vygotsky (1890-1934), quando ele estudava a formação dos conceitos infantis.

O material é constituído de 48 peças que combinam quatro atributos em cada uma: tamanho (grande e pequeno), cor (amarelo, azul e vermelho), forma (círculo, quadrado, triângulo e retângulo) e espessura (grosso e fino).

Conceitos Abordados:

· Possibilidades e probabilidade

· Cálculo de perímetro

· Cálculo de uma área.

Objetivos:

· Promover a elaboração do raciocínio passando, gradativamente, do concreto para o abstrato;

· Organizar o pensamento assimilando conceitos básicos da cor, forma, tamanho, seleção, classificação e ordenação;

· Desenvolver a percepção espacial;

· Elaborar estimativas e cálculos;

· Resolver operações concretas.

Sugestões de atividades:

· Separar os blocos por cor;

· Imitar uma seqüência montada pelo professor, utilizando um só atributo;

· Solicitar da criança qual é o “segredo da seqüência” (cor, tamanho, etc.);

· Ordenar peças utilizando critério próprio determinado pela criança.

· Utilizar dois atributos na realização das mesmas atividades, além, de identificação de conjuntos de elementos mediante os seus atributos comuns.

· Utilizar quatro atributos ao mesmo tempo, exigindo maior abstração e raciocínio lógico no desenvolvimento das atividades.


2. Tangran - O uso do Tangram como recurso de aprendizagem


A Matemática é uma ciência que tem por objeto de estudo as relações entre os números, as formas, as grandezas e as operações entre estes elementos. Ao longo da história, esta se apresentou de modo a separar as pessoas, visto que o conhecimento gera poder, pois nas culturas antigas, conhecimento era privilégio de poucos. Dessa forma, historicamente, nasceu um preconceito de que a Matemática é um conhecimento direcionado apenas a poucos indivíduos talentosos.

Por este motivo, o ensino e a aprendizagem da Matemática, recentemente, está sendo estudado, de modo a tentar universalizar o aprendizado desta ciência e promover a acessibilidade a todas as pessoas. Dentre as maneiras, destaca-se a matemática lúdica.

Nos dias atuais, o ensino da Matemática está apregoado nos Parâmetros Curriculares Nacionais, que são os livros editados por educadores que fornecem suporte didático para o professor, propostos pelo Ministério da Educação. Estes documentos defendem uma abordagem interdisciplinar, o uso de problemas e situações reais, as recreações matemáticas, doutrinas estas propostas já nas obras de Malba Tahan que está entre os educadores que mais trabalhou a contextualização da Matemática, através de sua forma simples e divertida, traduzindo problemas do cotidiano em problemas de Aritmética e Álgebra, além de abordar em sala de aula a matemática lúdica.

Uma das subdivisões da Matemática nos PCN’s é Geometria e Formas, uma parte onde se podem explorar assiduamente as recreações matemáticas. Dentro da moderna orientação do ensino, cumpre ao professor conhecer algumas abordagens lúdicas, pois terá, muitas vezes, necessidade de aproveitá-las para motivar os seus alunos e tornar mais agradável e interessante a aprendizagem da ciência.

Uma dessas abordagens que pode ser explorada nessa subdivisão da Matemática (Geometria e Formas), é o Tangram; um quebra-cabeça chinês de origem milenar formado de sete peças geométricas oriundas de um quadrado.

As peças do Tangram são as seguintes: dois triângulos grandes, dois triângulos pequenos, um triângulo médio, um quadrado e um paralelogramo, como mostram a figura abaixo:


Com essas peças e a criatividade é possível montar cerca de 1700 figuras diferentes, veja alguns exemplos abaixo:


A introdução desse material-jogo pode ser feita através do conto de uma lenda sobre o Tangram, a qual diz: “um monge chinês deu ao seu discípulo um quadrado de porcelana, um rolo de papel de arroz, pincel e tintas, e disse:

- Vai e viaja pelo mundo. Anota tudo que vires de belo e depois volta.

A emoção da tarefa fez com que o discípulo deixasse cair o quadrado de porcelana, que se partiu em sete pedaços. O discípulo, tentando reproduzir o quadrado, viu formar uma imensidão de figuras belas e conhecidas a partir das sete peças. De repente percebeu que não precisaria mais correr o mundo. “Tudo de belo que existia poderia ser formado pelo Tangram.”

Logo após essa introdução, o professor pode confeccionar juntamente com os alunos as peças do Tangram, utilizando somente uma folha de papel quadrada e tesoura, trabalhando assim a coordenação motora e a arte ao mesmo tempo.

Além disso, vários conceitos matemáticos podem ser abordados, como:

  • Identificação;
  • Comparação;
  • Descrição;
  • Classificação;
  • Desenho de formas geométricas planas;
  • Visualização e representação de figuras planas;
  • Exploração de transformações geométricas através de decomposição e composição de figuras;
  • Compreensão das propriedades das figuras geométricas planas;
  • Representação e resolução de problemas usando modelos geométricos;
  • Noções de áreas;
  • Frações.

Com esses conceitos em mente, os alunos podem desenvolver algumas habilidades que servem de pré-requisitos para outras áreas do saber, como: visualização, diferenciação, percepção espacial, análise, síntese, desenho, relação espacial, escrita, construção, criatividade e raciocínio lógico.

Outra maneira de se trabalhar o Tangram é a “sobreposição”, na qual o professor fornece uma imagem pré-definida onde os alunos devem encaixar as sete peças. Veja:

Através dessa imagem dada, o aluno deve encaixar as peças do Tangram preenchendo-a sem sobrepô-las.

A razão finalizadora do Tangram é de que o todo é divisível em partes, e estas podem ser reconstruídas em outro todo, como a própria concepção do grande educador Malba Tahan sobre a matemática.

Enfim, o uso de material lúdico em sala de aula, como o Tangram, é uma estratégia eficaz para entender conceitos de número e operações, além de educar a atenção, despertar interesse por mais conhecimento e trabalhar a interdisciplinaridade. Portanto, entende-se que a aprendizagem deve acontecer de forma interessante e prazerosa e um recurso que possibilita isso são os materiais lúdicos.

Trabalhando com figuras geométricas:

Em todo espaço de convivência pode ser usada diversas formas como o uso de embalagens, que são modelos de representações geométricas, tridimensionais, envolvendo estruturas, figuras planas (faces), agregando relações entre superfície, espaço, linhas, contornos e cores, entre outras, portanto, elementos que servem de mediações para fazer, construir, pensar e criar em Geometria.

Construção de um Tangram


a) Quais são as maiores peças?

b) Quais são as menores peças?

c) Quantas vezes a peça verde cabe no Tangram?

d) Que parte do Tangram corresponde a peça verde?

e) Quantas vezes a peça de cor ouro cabe na peça verde?

f) Que parte da peça verde é a peça ouro?

g) Que parte do Tangram corresponde a peça ouro?

h) Quantas vezes a peça azul cabe na peça ouro?

i) Que parte do Tangram é a peça azul?

Em suma, podemos concluir que mesmo trabalhosa atividade prática como esta, torna a aprendizagem mais gratificante, prazerosa e significativa, buscando no educando resultados vivenciados na prática, podendo fazer comparações entre a teoria e a prática, demonstrando situações outrora vivenciadas no dia a dia, tornando-as mais atrativas com gostinho de quero mais.



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática: Geometria. 2ª Ed. 1995. São Paulo.

GUELLI, Oscar. A invenção dos Números. 2ª Ed. 1995. São Paulo.

GUELLI, Oscar. Jogando com a Matemática. 2ª Ed. 1995. São Paulo.

GENTIL, Nelson. Como encontrar a medida certa. 8ª Ed. 1996. São Paulo.

ROSA, Ernesto. Geometria na Amazônia. 8ª Ed. 1996. São Paulo.

XAVIER E BARRETO, Matemática Aula por Aula. 2ª Série. Ensino Médio. 2ª Ed. Renovada. FTD. São Paulo. 2005.

BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. 9º Ano. Ensino Fundamental. 6ª Ed. Moderna. São Paulo. 2006.

DANTE, Roberto. Matemática. 2ª Série. Ensino Médio. 1ª Ed. Ática. São Paulo. 2004.

PCNs. Orientações Curriculares para o Ensino Médio. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Volume 2. Brasília.

http://geometria100.blogspot.com/acessado em 02/10/2011

http://www.ufpa.br/npadc/gemaz/textos/artigosacessado em 01/10/2011.

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